推导电容式感应加速度计的传递函数

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在本文中，我们将学习如何推导一个用于电容式 MEMS 加速度计的质量-弹簧-阻尼系统的传递函数
在本系列的第一部分中，我们讨论了质量-弹簧-阻尼器(或质量-阻尼器-弹簧)结构可以用来测量加速度。
为了证明质量位移与加速度成正比，应适当选择质量-弹簧-阻尼器系统的不同参数。
本文将使用经典力学的概念来推导质量-弹簧-阻尼系统的传递函数。
传递函数允许我们描述证明质量如何响应外部加速度而移动。导出的传递函数将在本系列的后续文章中用于解释加速度计的不同参数，如传感器的线性工作范围和带宽规格。
然而，在尝试推导传感器传递函数之前，让我们简要介绍一下使今天的小型、低成本惯性传感器成为可能的微机电系统(MEMS)技术。
MEMS 加速度计: 用质量-弹簧-阻尼结构测量加速度用于检测加速度的质量-弹簧-阻尼器结构如图1所示。
MEMS 技术使我们能够实现一个非常小的版本的这种机械系统，以及所需的信号调节电子在同一个硅芯片上有一个完整的传感解决方案。

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图1。质量-弹簧-阻尼器结构
MEMS 技术从微型制造工业中借鉴了基于光刻的微电子学制造技术，并将它们与另外的特殊制造技术相结合，从而能够在硅芯片上制造可移动部件。
微加工技术的进步帮助实现了当今小型、低成本的微机械加速度计，如图2所示。

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图2。 CMOS MEMS 加速度计的扫描电子显微照片(SEM)。图片由 K.Zhang 提供
在前一篇文章中，我们简要地提到了阻尼器在加速度计的工作中起着关键的作用。在尝试推导质量-弹簧-阻尼器系统的传递函数之前，现在是更加熟悉系统的这个重要部分的好时机。
MEMS 加速度计中的阻尼机理阻尼器模拟的耗散力减小了质量-弹簧-阻尼器系统的机械能，减缓了防止质量的运动。
MEMS 加速度计的主要阻尼机制之一是发生在移动质量和周围空气分子之间的内摩擦。事实上，在极低的压力下封装一个基于 MEMS 的加速度计是可能的，以减少空气阻尼的影响。然而，一般而言，空气阻尼是 MEMS 加速度计能量损失的主要来源。
其他常见的阻尼来源是结构和热阻尼。
结构阻尼考虑了 MEMS 器件所用元件结构引起的能量损失。
热阻尼对应于 MEMS 结构应力-应变关系随温度变化的偏差。阻尼器对证明质量所施加的整体减速力通常被建模为与证明质量速度成正比的力。
这种力作用于质量运动的相反方向，由下列因素给出:
[ F _ { damper } = bv ]

其中 b 表示阻尼系数，v 表示证明质量的速度。
注意，当物体很小时，空气阻力与物体的速度成正比，这就是微加工结构的情况。
一般来说，空气阻力与物体的速度有着复杂的关系。例如，一个大的物体，如在空中移动的跳伞运动员，可以感受到与物体速度的平方成正比的阻力。
阻尼效果: 想要的还是讨厌的？由于阻尼起源于耗散力，因此它可能看起来像一个应该避免的麻烦。事实上，许多 MEMS 加速度计被设计成只有少量的阻尼(以减少系统的噪声)。
然而，应该指出的是，一个理想的质量弹簧系统没有阻尼实际上是一个振荡器，不能用作加速度计。
如果我们将一个“理想的”弹簧质量系统的质量从平衡状态移开，然后释放它，即使没有外加速度作用于该系统，质量也将永远来回移动。这就是为什么，对于一个加速度计，我们需要引入至少少量的阻尼到我们的弹簧质量系统。
用牛顿运动定律证明质量位移假设，如图3所示，外力施加到传感器框架。

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图3。质量-弹簧-阻尼器结构传感器框架对外力的反应
我们用牛顿第二运动定律来计算用加速度表示的质量位移。你们可能已经知道，这个定律表明，物体的加速度由净力产生，与净力的大小成正比，与物体的质量成反比。
这可以用下面熟悉的等式表示:

[ F = ma ]
等式1F 是施加在物体上的净力 m 是物体的质量 a 表示加速度。
为了正确地将这个方程应用到我们的系统中，这里应该注意到一个微妙的地方。牛顿第二运动定律只适用于惯性坐标系，也就是不加速的坐标系。
图3描述了我们的加速度计的两个不同的坐标系统。橙色的坐标系与地球的参照系相对应，在解决物理问题时，地球的参照系被认为是惯性的。
然而，洋红色坐标系代表了固定在传感器框架上的一个参考框架。
这种坐标系是非惯性的，因为当外力作用于传感器时，它会加速。因此，要找到证明质量的运动方程，我们应该使用惯性参照系(橙色坐标系)。
什么力作用于证据质量？
假设，如图3所示，X0和 Xm 分别表示证明质量的其余位置和证明质量在任何特定时间的位置。在正 X 方向的外力作用下，传感器框架向右加速。最初，由于其惯性，证明质量趋向于“后退”。这改变了相对于传感器框架的证明质量的相对位置，并将弹簧压缩 X0-Xm。压缩弹簧对校准块施加一个力，并将其向右推。
弹簧产生的力由以下几个因素决定:

[ F _ s = k (X _ 0-X _ m)]
方程式2
当证明质量偏离平衡位置时，阻尼器施加的力与证明质量的相对速度相对于静止位置成正比，我们得到
[ F _ d = b (dot X _ 0-dot X _ m)]
方程式3在上述方程中，点符号用来表示变量对时间的一阶导数。注意，位置的导数是速度
应用等式1，我们得到:
[ F _ s + F _ d = ma _ {证明质量}]
取代方程2和方程3，我们得到
[ k (X _ 0-X _ m) + b (dot X _ 0-dot X _ m) = m ddot X _ m ]
方程式4
在这个等式中，双点符号表示 Xm 对时间的二阶导数。注意 something m 是证明质量的加速度。
非惯性参考系中运动方程的求解我们希望根据证明质量位移从其平衡位置重写方程4。这是因为我们的传感方法在实践中测量的证明质量位移从其平衡。
例如，如图4所示，电容式感应方法测量的证明质量位移从一个休息位置。

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图4。通过电容式感应测量证明质量位移的装置。有关更多信息，请参阅本系列前一篇文章
为了用证明质量位移来表示方程4，我们需要使用图3中洋红色坐标系所示的移动参照系。我们用小写字母 x 和 y 表示这个坐标系
如你所见，质量位移的证明是由 Xm-X0 = x 给出的。
在这种情况下，等式4简化为:

[-kx-b dot x = m (ddot X _ 0 + ddot x)]

由于 something 0是传感器框架上的一个固定点，其二阶导数等于传感器框架 a 的加速度。这实际上就是我们想要测量的参数
因此，上述等式导致:
[ m ddot x + b dot x + kx =-ma ]

求传递函数应用拉普拉斯变换，我们可以求出加速度计的传递函数:
[ H (s) = frac { x (s)}{ a (s)} = frac {-1}{ s ^ 2 + frac { b }{ m } s + frac { k }{ m }]
这是一个二阶系统。根据系统参数(即 m、 k 和 b)的值，系统响应将是不同的。
例如，如果传感器帧加速度突然从零变化到一个有限值(一个阶跃输入) ，系统的输出将接近其最终值的时间响应特性是由系统参数决定的。
图5显示了改变系统参数如何改变输出的振铃和稳定时间。在我们的讨论中，输出是证明质量位移。


图5。二阶系统的阶跃响应可以根据系统参数的大小发生显著变化。图片由麻省理工学院 David L. Trumper 提供在下一篇文章中，我们将使用导出的传递函数来讨论一些重要的系统参数，如传感器的线性操作范围、响应误差和带宽。
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本主题由 elecfans小能手 于 2022-6-17 14:04 审核通过


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提交评论
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还是看不懂，复杂

抢楼了，前排第一次啊

学习一下！十分感谢

感谢您的无私精神...

支持！！！！！！

顶起  很好的帖

不错

学习了！！！！

我表示压力很大